¿Cómo invertir un triángulo? I

Dado un triángulo ABB', invertir la figura sabiendo que A es un punto inverso de sí mismo, es decir: A=A'

Para resolver este problema vamos a recordar algunas características de la  inversión en el plano.

La inversión es una transformación homográfica, es decir, conserva la naturaleza de los elementos que transforma, por tanto: al invertir un punto lo que obtenemos es otro punto. 

Al transformar un punto y obtener su transformado (o inverso) veremos que siempre se encuentra alineado con el centro de inversión es decir:  la inversión es una tranformación  

con centro.

El centro de inversión es el centro de una circunferencia llamada circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles (c.p.d), esta circunferencia contiene puntos que son inversos de ellos mismos. Este dato nos será de utilidad para resolver este problema ya que: 

- Uno de los vértices del triángulo es A=A', por lo tanto, ya tenemos un dato de cual podemos deducir que A=A' pasa por la circunferencia de autoinversión.

- También nos dan una pareja de puntos inversos: B y B'. 

Para comprender la relación entre las posiciones relativas que guarda esta pareja con respecto al centro de inversión, tenemos que repasar el concepto de potencia.

Os propongo viajar por el mundo de la potencia en Lord and Master, cuyo enlace directo podéis encontrar aquí.

Tras volver del viaje, podéis observar la siguiente imagen, donde vemos lo que ocurre cuando la potencia de inversión es positiva (también puede una potencia de inversión negativa, pero la guardamos para otro momento). El producto de las distancias desde el centro de inversión a los puntos y sus inversos, es constante (√K):

IA*IA' = IB*IB' = K*K = K²

También vemos que los puntos C y C' (inverso de C) coinciden y que la circunferencia de autoinversión o de puntos dobles (c.p.d) pasa por este punto (o pareja de puntos). Esto se debe a que la distancia desde el centro de inversión al punto doble es la raíz de la potencia (√K), que también es el radio de la circunferencia de autoinversión o de puntos dobles (¡de ahí su nombre!).


Si sois observadores y observadoras, veréis que las dos parejas de puntos inversos (AA' y BB') se encuentran en la misma circunferencia, es decir: son conclíclicos. No olvidemos que C y C' es también una pareja de puntos inversos (con una posición relativa coincidente con respecto al centro de inversión), por tanto las tres parejas de puntos son concíclicos. Pero no necesitamos las tres parejas para saberlo y esta es otra propiedad de la inversión: 

Dos puntos y sus inversos son concíclicos.


Podemos resumir esta pequeña introducción en unos conceptos clave:

La inversión en el plano

• Transformación homográfica.
• Tranformación con centro.
•  Circunferencia de autoinversión o circunferencia de puntos dobles (c.p.d).
• Potencia de inversión positiva

• Relación constante (√K) con respecto al centro de inversión. 
• Dos puntos y sus inversos: conclíclicos.

Para profundizar os propongo otro viaje, esta vez por Plano, línea, punto: 

 ¿Qué necesitamos saber si queremos invertir una recta o una circunferencia?

El enlace lo tenéis aquí.


Por último, un pequeño esquema con los datos de nuestro problema, en breve tendréis la solución:

 

¡Ánimo!

* (solución aquí).

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Fuentes:

Piziadas

Lord and master 

Plano, línea, punto